パズルづいてる2

「神は細部に宿り給う」の「ビルゲイツの面接試験ネタに便乗」から。

「棒人間君が図のような魔の7段階段の5段目にいます。棒人間君は毎回コインを投げて、表が出れば上に一段登り、裏が出れば下に一段下がります。7段目にたどり着けばクリア、生きて帰れます。逆に1段目まで降りてしまったらゲームオーバー、死にます。さて、この棒人間君が生還できる確率は？　もちろんコインの裏表は1/2の確率で等しく出るものとし、階段の途中でやめることはできないものとします。」

ということで，答えから言うと生還確率は2/3, 死亡確率は1/3.










どうやって解こうか悩んだのだが，とりあえず正攻法で，時間 t に，段 i にいる確率を考えることにする．
が，まともに式を立てると i が1,..,7まで考えねばいけない．
これはいやなので，サイコロ2回を一まとめに考える．
（すなわち，サイコロを2回振るとtが一つ増加する）
と，考える段は i=1,3,5,7 だけでよくなる．
また，i=1,7に到達できるのはそれぞれ，3と5からだけなので，この2箇所が本質．

この2箇所, 3,5に時間tにいる確率をそれぞれ, A(t), B(t)とすると

　A(t+1) = 1/2A(t) + 1/4B(t)
B(t+1) = 1/2B(t) + 1/4A(t)

で，A(1)=0, B(1)=1.
対称性からこの漸化式は簡単に解けて，

　A(t) = 1/2( (3/4)^(n-1) - (1/4)^(n-1))，
　B(t) = 1/2( (3/4)^(n-1) + (1/4)^(n-1))．

求めるべき生存確率は，1/4(B(1)+B(2)+ .... ) = 2/3.
死亡確率は 1/4(A(1)+A(2)+ ....) = 1/3.

うむ．
しかし，この解き方だと高校生の知識が必要ですね．
だが，確率の概念（この問題が対象とする事象の空間とかね）を真面目に考えるのなら，結局は本質的にこのような式を解く解法になってないといけないような気がする．

到達すべき段数の差が1:2だから（1段と5段の差が4段，5段と7段の差が2段），逆数を取って1/3,2/3なんていうのは直感的にはそんな雰囲気だがとりあえずは説明になってないしね．